初項が $a$ であり、初項から第3項までの和が $S$ となる等比数列を考える。このような等比数列がただ一つだけ存在するとき、$a$ と $S$ の関係、$r$ (公比)、第10項を求める。ただし、$a \neq 0$ とする。

1. 問題の内容

初項が $a$ であり、初項から第3項までの和が $S$ となる等比数列を考える。このような等比数列がただ一つだけ存在するとき、$a$ と $S$ の関係、$r$ (公比)、第10項を求める。ただし、$a \neq 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の初項から第3項までの和を求める。初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の第 $n$ 項は $ar^{n-1}$ である。したがって、初項から第3項までの和は次のようになる。

$S = a + ar + ar^2$

$a \neq 0$ より、$S = a(1 + r + r^2)$ となる。

この式から $r$ について解くと、$r$ の二次方程式となる。問題文より、$r$ はただ一つ存在するので、この二次方程式は重解を持つ必要がある。$S=a(1+r+r^2)$より、$r^2 + r + (1 - \frac{S}{a}) = 0$となる。

この二次方程式が重解を持つためには、判別式 $D$ が $0$ でなければならない。したがって、

$D = 1^2 - 4(1)(1 - \frac{S}{a}) = 0$

$1 - 4 + 4\frac{S}{a} = 0$

$-3 + 4\frac{S}{a} = 0$

$4\frac{S}{a} = 3$

$S = \frac{3}{4}a$

次に、公比 $r$ を求める。重解を持つときの解は、$r = \frac{-b}{2a}$である。

$r = \frac{-1}{2}$

最後に、第10項を求める。第10項は、$ar^9$ である。

$ar^9 = a(\frac{-1}{2})^9 = a \cdot \frac{-1}{512} = -\frac{a}{512}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3}{4}a$

$r = -\frac{1}{2}$

第10項 $= -\frac{a}{512}$