問題16の(1)と(2)について、数列の一般項を求めます。 (1) 数列 $4, 5, 8, 13, 20, 29, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 1$ である数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

問題16の(1)と(2)について、数列の一般項を求めます。

(1) 数列 $4, 5, 8, 13, 20, 29, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 1$ である数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 階差数列を利用して一般項を求める。

数列 $4, 5, 8, 13, 20, 29, \dots$ の階差数列は $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ となり、これは初項1、公差2の等差数列である。

したがって、階差数列の一般項 $b_n$ は $b_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ となる。

数列 $a_n$ の一般項は、

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = 4 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 4 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 4 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 5$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$ となり、$a_1$ と一致する。

したがって、一般項は $a_n = n^2 - 2n + 5$ となる。

(2) $S_n = n^2 + 1$ である数列の一般項を求める。

$a_1 = S_1 = 1^2 + 1 = 2$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 1) - ((n-1)^2 + 1) = n^2 + 1 - (n^2 - 2n + 1 + 1) = n^2 + 1 - n^2 + 2n - 2 = 2n - 1$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2(1) - 1 = 1$ となり、$a_1 = 2$ と一致しない。

したがって、

$a_1 = 2$

$a_n = 2n - 1 \quad (n \ge 2)$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - 2n + 5$

(2) $a_1 = 2$, $a_n = 2n - 1 \quad (n \ge 2)$