数列 $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、この数列の第 $k$ 項 $a_k$ を求める。第 $k$ 項は、初項から $2k$ までの偶数の和であるから、

$$a_k = 2 + 4 + 6 + \dots + 2k = \sum_{i=1}^{k} 2i = 2 \sum_{i=1}^{k} i = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) = k^2 + k$$

となる。

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$$

ここで、

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

したがって、

$$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$