次の数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $3, 4, 7, 12, 19, 28, \dots$ (2) $-2, -4, 0, -8, 8, -24, \dots$

1. 問題の内容

次の数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $3, 4, 7, 12, 19, 28, \dots$

(2) $-2, -4, 0, -8, 8, -24, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 階差数列を考える。

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_1 = 4-3 = 1$

$b_2 = 7-4 = 3$

$b_3 = 12-7 = 5$

$b_4 = 19-12 = 7$

$b_5 = 28-19 = 9$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ となり、これは初項 $1$, 公差 $2$ の等差数列である。したがって、

$b_n = 1 + (n-1)2 = 2n-1$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 3 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 3 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 3 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 4$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$ となり、これは成り立つ。

よって、$a_n = n^2 - 2n + 4$

(2) 階差数列を考える。

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_1 = -4 - (-2) = -2$

$b_2 = 0 - (-4) = 4$

$b_3 = -8 - 0 = -8$

$b_4 = 8 - (-8) = 16$

$b_5 = -24 - 8 = -32$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は $-2, 4, -8, 16, -32, \dots$ となり、これは初項 $-2$, 公比 $-2$ の等比数列である。したがって、

$b_n = -2 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^n$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = -2 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^k = -2 + \frac{-2(1 - (-2)^{n-1})}{1 - (-2)} = -2 + \frac{-2(1 - (-2)^{n-1})}{3}$

$= -2 - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} (-2)^{n-1} = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3} (-2)^{n-1}$

$n=1$ のとき、$a_1 = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3}(-2)^0 = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$ となり、これは成り立つ。

よって、$a_n = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3}(-2)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - 2n + 4$

(2) $a_n = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3}(-2)^{n-1}$