$x-6, x, y$ がこの順で等比数列であり、$x-9, x, y-x$ がこの順で等差数列であるとき、$x>6$, $y>0$ の条件下で $x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x-6, x, y$ がこの順で等比数列であり、$x-9, x, y-x$ がこの順で等差数列であるとき、$x>6$, $y>0$ の条件下で $x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

等比数列 $x-6, x, y$ について、

$$\frac{x}{x-6} = \frac{y}{x}$$

が成り立つ。したがって、

$$x^2 = y(x-6)$$

$$y = \frac{x^2}{x-6} \quad (*)$$

等差数列 $x-9, x, y-x$ について、

$$x - (x-9) = (y-x) - x$$

$$9 = y - 2x$$

$$y = 2x + 9 \quad (**)$$

(*)と(**)から $y$ を消去すると、

$$\frac{x^2}{x-6} = 2x + 9$$

$$x^2 = (2x+9)(x-6)$$

$$x^2 = 2x^2 - 12x + 9x - 54$$

$$x^2 = 2x^2 - 3x - 54$$

$$0 = x^2 - 3x - 54$$

$$0 = (x-9)(x+6)$$

$x>6$ の条件より、$x=9$。

$x=9$を(**)に代入すると、

$$y = 2(9) + 9 = 18 + 9 = 27$$

$y>0$の条件を満たす。

3. 最終的な答え

$x = 9$

$y = 27$