次の3つの和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1}$ (3) $1\cdot 2 + 3\cdot 4 + 5\cdot 6 + \cdots + (2n-1)\cdot 2n$

はい、承知いたしました。3つの問題の和を求めます。

1. 問題の内容

次の3つの和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1}$

(3) $1\cdot 2 + 3\cdot 4 + 5\cdot 6 + \cdots + (2n-1)\cdot 2n$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ の場合：

まず、 $k(k+1)$ を展開します。

$k(k+1) = k^2 + k$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ を $\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ に分割します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

共通因数 $\frac{n(n+1)}{6}$ でくくります。

$\frac{n(n+1)}{6} (2n+1+3) = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1}$ の場合：

nはkに依存しないため、シグマの外に出せます。

$\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1} = n\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ は初項 1, 公比 2, 項数 n の等比数列の和であるため、

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1} = n(2^n - 1)$

(3) $1\cdot 2 + 3\cdot 4 + 5\cdot 6 + \cdots + (2n-1)\cdot 2n$ の場合：

一般項は $a_k = (2k-1)(2k) = 4k^2 - 2k$と表せる。

したがって、求める和は $\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 2k)$である。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 2k) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k$

$= 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n(n+1)$

$= n(n+1) \left(\frac{2(2n+1)}{3} - 1\right)$

$= n(n+1) \left(\frac{4n+2-3}{3}\right)$

$= n(n+1) \left(\frac{4n-1}{3}\right)$

$= \frac{n(n+1)(4n-1)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) $n(2^n - 1)$

(3) $\frac{n(n+1)(4n-1)}{3}$