$a$ を定数とするとき、方程式 $a^2x + 1 = a(x+1)$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、方程式 $a^2x + 1 = a(x+1)$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を展開します。

$a^2x + 1 = ax + a$

次に、$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に集めます。

$a^2x - ax = a - 1$

左辺を $x$ でくくります。

$(a^2 - a)x = a - 1$

さらに左辺を因数分解します。

$a(a-1)x = a-1$

ここで、$a$ の値によって場合分けをします。

(1) $a(a-1) \neq 0$ のとき、つまり $a \neq 0$ かつ $a \neq 1$ のとき、$x$ は次のように求められます。

$x = \frac{a-1}{a(a-1)} = \frac{1}{a}$

(2) $a = 0$ のとき、方程式は $0 \cdot x = -1$ となり、これを満たす $x$ は存在しません。よって解なし。

(3) $a = 1$ のとき、方程式は $0 \cdot x = 0$ となり、これは任意の $x$ で成り立ちます。よって解はすべての実数。

3. 最終的な答え

* $a \neq 0$ かつ $a \neq 1$ のとき： $x = \frac{1}{a}$

* $a = 0$ のとき：解なし

* $a = 1$ のとき：すべての実数