与えられた式 $\sqrt{(2x+1)^2 + 2x + 1}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{(2x+1)^2 + 2x + 1}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、根号の中を整理します。

$(2x+1)^2$ を展開します。

$(2x+1)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$

次に、根号の中の式全体を整理します。

$(2x+1)^2 + 2x + 1 = 4x^2 + 4x + 1 + 2x + 1 = 4x^2 + 6x + 2$

よって、元の式は次のようになります。

$\sqrt{4x^2 + 6x + 2}$

ここで、根号の中身を因数分解します。

$4x^2 + 6x + 2 = 2(2x^2 + 3x + 1) = 2(2x+1)(x+1)$

したがって、

$\sqrt{4x^2 + 6x + 2} = \sqrt{2(2x+1)(x+1)}$

しかし、問題文は $\sqrt{(2x+1)^2 + 2x+1}$ なので、

$\sqrt{(2x+1)^2 + (2x+1)} = \sqrt{(2x+1)((2x+1)+1)} = \sqrt{(2x+1)(2x+2)} = \sqrt{2(2x+1)(x+1)}$

これ以上簡単にできません。

もとの式 $\sqrt{4x^2 + 6x + 2}$ を変形することを考えます。

$4x^2 + 6x + 2 = (2x)^2 + 2(2x)(\frac{3}{2}) + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 2 = (2x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = (2x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

すると、$\sqrt{(2x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}}$となり、これも簡単になりません。

$\sqrt{(2x+1)^2+2x+1} = \sqrt{(2x+1)(2x+1+1)} = \sqrt{(2x+1)(2x+2)} = \sqrt{2(2x+1)(x+1)}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2(2x+1)(x+1)}$