問題は3つの部分から構成されています。 (1) $(a+2b)^3$ の展開を利用して、$(a+2b)^3 - 6ab(a+2b)$ を計算し、選択肢から適切なものを選ぶ問題。 (2) (1)の結果を利用して、$a^3 + 8b^3 + c^3 - 6abc = (a+2b+c)(\text{ })$ の空欄を埋める問題。 (3) (2)の結果を利用して、$a=x-y$, $2b=y-z$, $c=z-x$ とおいたとき、$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$ を計算し、選択肢から適切なものを選ぶ問題。

1. 問題の内容

問題は3つの部分から構成されています。

(1) $(a+2b)^3$ の展開を利用して、$(a+2b)^3 - 6ab(a+2b)$ を計算し、選択肢から適切なものを選ぶ問題。

(2) (1)の結果を利用して、$a^3 + 8b^3 + c^3 - 6abc = (a+2b+c)(\text{ })$ の空欄を埋める問題。

(3) (2)の結果を利用して、$a=x-y$, $2b=y-z$, $c=z-x$ とおいたとき、$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$ を計算し、選択肢から適切なものを選ぶ問題。

2. 解き方の手順

(1) $(a+2b)^3 = a^3 + 3a^2(2b) + 3a(2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

よって、空欄1に入るのは選択肢④。

$(a+2b)^3 - 6ab(a+2b) = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 - 6a^2b - 12ab^2 = a^3 + 8b^3$

よって、空欄2に入るのは選択肢②。

(2) (1)より、$a^3+8b^3 = (a+2b)^3 - 6ab(a+2b) = (a+2b)( (a+2b)^2 - 6ab )$.

$a^3+8b^3+c^3 - 6abc = (a+2b+c)(a^2+4ab+4b^2 - 2ab - 2bc + c^2) - 6abc + 6abc - 6abc - (-6abc+6abc)$

ここで、$a^3 + 8b^3 + c^3 - 6abc = (a+2b+c)(a^2 + 4b^2 + c^2 -2ab -2bc - ca)$.

よって、空欄3に入るのは選択肢④。

(3) $a=x-y$, $2b=y-z$, $c=z-x$ より、

$a+2b+c = (x-y)+(y-z)+(z-x) = x-y+y-z+z-x = 0$。

(2)より、$a^3 + 8b^3 + c^3 - 6abc = (a+2b+c)(a^2 + 4b^2 + c^2 -2ab - 2bc - ca)$

したがって、$a^3 + (2b)^3 + c^3 - 3a(2b)c = (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 - 3(x-y)(y-z)(z-x)=0$.

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$

よって、空欄4に入るのは選択肢⑤。

3. 最終的な答え

1: ④

2: ②

3: ④

4: ⑤