与えられた行列に対して、逆行列を求める問題です。逆行列が存在しない場合は、その理由を説明します。条件だけでは何もわからない場合は、そう答えます。 与えられた行列は以下の通りです。 (1) $O$ (零行列) (2) $E$ (単位行列) (3) 正則な行列 $A, B$ に対して、$AB$ (4) 正則な行列 $A, B$ に対して、$A+B$ (5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ (6) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ (7) $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ (8) $2025$ (9) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ (10) $\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$ (11) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ (12) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた行列に対して、逆行列を求める問題です。逆行列が存在しない場合は、その理由を説明します。条件だけでは何もわからない場合は、そう答えます。

与えられた行列は以下の通りです。

(1) $O$ (零行列)

(2) $E$ (単位行列)

(3) 正則な行列 $A, B$ に対して、$AB$

(4) 正則な行列 $A, B$ に対して、$A+B$

(5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(8) $2025$

(9) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

(10) $\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$

(11) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

(12) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

以下に各問題に対する解き方と答えを示します。

(1) 零行列 $O$

零行列は正方行列でなければならないので、サイズが不明な場合、逆行列が存在するかどうかわかりません。サイズが与えられていない場合は、逆行列が存在しないと答えるのが適切です。零行列は正方行列であっても正則ではないため逆行列は存在しません。

(2) 単位行列 $E$

単位行列の逆行列は単位行列自身です。$E^{-1} = E$

(3) 正則な行列 $A, B$ に対して、$AB$

$A$と$B$が正則な行列であれば、$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$となります。

(4) 正則な行列 $A, B$ に対して、$A+B$

一般的に、$A+B$が正則であるとは限りません。$A+B$が正則である場合でも、$(A+B)^{-1}$を$A^{-1}$と$B^{-1}$で表す簡単な公式はありません。与えられた条件だけでは逆行列はわかりません。

(5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$

この行列は正方行列ではないため、逆行列は存在しません。

(6) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

この行列は正方行列ではないため、逆行列は存在しません。

(7) $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

この行列は回転行列です。逆行列は転置行列に等しいので、

$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(8) $2025$

これは1x1行列とみなせます。逆数は $1/2025$ です。

(9) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

行列式は $3*5 - 4*1 = 15 - 4 = 11$ 。逆行列は、

$\frac{1}{11} \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}$

(10) $\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$

行列式は $4*9 - (-6)*(-6) = 36 - 36 = 0$ 。行列式が0なので、逆行列は存在しません。

(11) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

1行目と3行目が同じなので行列式は0です。したがって、逆行列は存在しません。

(12) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

行列式は $2(4*2-1*2) - (-1)((-3)*2 - 1*(-1)) + 3((-3)*2 - 4*(-1)) = 2(8-2) + (-6+1) + 3(-6+4) = 2*6 -5 + 3*(-2) = 12 - 5 - 6 = 1$。逆行列は

$\begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 逆行列は存在しません。

(2) $E$

(3) $B^{-1}A^{-1}$

(4) 与えられた条件だけではわかりません。

(5) 逆行列は存在しません。

(6) 逆行列は存在しません。

(7) $\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(8) $1/2025$

(9) $\begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}$

(10) 逆行列は存在しません。

(11) 逆行列は存在しません。

(12) $\begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$