長さ40cmの針金を2つに切り、それぞれを折り曲げて正方形を2つ作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切ればよいか、また、その最小値を求めよ。

1. 問題の内容

長さ40cmの針金を2つに切り、それぞれを折り曲げて正方形を2つ作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切ればよいか、また、その最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 針金の切り方を決定する。

一方の針金の長さを $x$ cmとすると、もう一方の針金の長さは $(40-x)$ cmとなる。ここで、$0 \le x \le 40$である。

(2) 各々の針金で作られる正方形の一辺の長さを求める。

長さ $x$ cmの針金で作られる正方形の一辺の長さは $\frac{x}{4}$ cmである。

同様に、長さ $(40-x)$ cmの針金で作られる正方形の一辺の長さは $\frac{40-x}{4}$ cmである。

(3) 各々の正方形の面積を計算する。

長さ $x$ cmの針金で作られる正方形の面積は $(\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{16}$ cm$^2$である。

長さ $(40-x)$ cmの針金で作られる正方形の面積は $(\frac{40-x}{4})^2 = \frac{(40-x)^2}{16}$ cm$^2$である。

(4) 面積の和を計算する。

面積の和を $S$ とすると、

$$S = \frac{x^2}{16} + \frac{(40-x)^2}{16} = \frac{x^2 + (40-x)^2}{16} = \frac{x^2 + 1600 - 80x + x^2}{16} = \frac{2x^2 - 80x + 1600}{16} = \frac{1}{8}x^2 - 5x + 100$$

(5) 面積の和 $S$ を最小にする $x$ の値を求める。

$S$ は $x$ の二次関数であり、$S = \frac{1}{8}(x^2 - 40x) + 100 = \frac{1}{8}(x^2 - 40x + 400 - 400) + 100 = \frac{1}{8}(x - 20)^2 - 50 + 100 = \frac{1}{8}(x - 20)^2 + 50$

したがって、$x = 20$のとき、$S$ は最小値50をとる。

(6) 針金の切り方と面積の和の最小値を記述する。

針金をそれぞれ20cmに切ると、面積の和は最小になる。

面積の和の最小値は50 cm$^2$である。

3. 最終的な答え

針金をそれぞれ20cmに切ればよい。

面積の和の最小値は50 cm$^2$である。