与えられた連立1次方程式 $ \begin{cases} x + 4y + 2z = 2 \\ 2x + 9y + 2z = 8 \\ 4x + 16y + 8z = 8 \end{cases} $ について、以下の2つの問いに答える。 (1) この連立1次方程式の拡大係数行列を階段行列に変形したとき、正しい階段行列を選択肢の中から選ぶ。 (2) (1)の結果から連立1次方程式の解を求める。正しい解を選択肢の中から選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた連立1次方程式

$$

\begin{cases}

x + 4y + 2z = 2 \\

2x + 9y + 2z = 8 \\

4x + 16y + 8z = 8

\end{cases}

$$

について、以下の2つの問いに答える。

(1) この連立1次方程式の拡大係数行列を階段行列に変形したとき、正しい階段行列を選択肢の中から選ぶ。

(2) (1)の結果から連立1次方程式の解を求める。正しい解を選択肢の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を作り、階段行列に変形する。

拡大係数行列は

$$

\begin{bmatrix}

1 & 4 & 2 & 2 \\

2 & 9 & 2 & 8 \\

4 & 16 & 8 & 8

\end{bmatrix}

$$

である。

2行目から1行目の2倍を引く:

$$

\begin{bmatrix}

1 & 4 & 2 & 2 \\

0 & 1 & -2 & 4 \\

4 & 16 & 8 & 8

\end{bmatrix}

$$

3行目から1行目の4倍を引く:

$$

\begin{bmatrix}

1 & 4 & 2 & 2 \\

0 & 1 & -2 & 4 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

よって、階段行列は

$$

\begin{bmatrix}

1 & 4 & 2 & 2 \\

0 & 1 & -2 & 4 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

である。選択肢の中でこれと一致するものは選択肢6である。

(2) (1)で求めた階段行列に対応する方程式は

$$

\begin{cases}

x + 4y + 2z = 2 \\

y - 2z = 4

\end{cases}

$$

である。

$z = k$ (kは任意定数)とおくと、$y = 4 + 2k$となる。

$x = 2 - 4y - 2z = 2 - 4(4 + 2k) - 2k = 2 - 16 - 8k - 2k = -14 - 10k$となる。

したがって、解は

$$

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

z

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

-14 \\

4 \\

0

\end{bmatrix}

+ k

\begin{bmatrix}

-10 \\

2 \\

1

\end{bmatrix}

$$

である。選択肢の中でこれと一致するものは選択肢3である。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 3