放物線 $y=x^2+x$ を平行移動したもので、点 $(2,4)$ を通り、頂点が直線 $y=3x$ 上にある。かつ原点を通らないような放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2+x$ を平行移動したもので、点 $(2,4)$ を通り、頂点が直線 $y=3x$ 上にある。かつ原点を通らないような放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y=x^2+x$ を平行移動したものを考えます。

$y=x^2+x = (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ なので、頂点は $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$ です。

この放物線を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y = (x-p)^2 + (x-p) + q$

となります。

展開すると、

$y = x^2 -2px + p^2 + x - p + q$

$y = x^2 + (1-2p)x + p^2 - p + q$

この放物線が点 $(2,4)$ を通るので、

$4 = 2^2 + (1-2p) \cdot 2 + p^2 - p + q$

$4 = 4 + 2 - 4p + p^2 - p + q$

$0 = 2 - 5p + p^2 + q$

$q = -p^2 + 5p - 2$ ...(1)

次に、この放物線の頂点を求めます。

$y = x^2 + (1-2p)x + p^2 - p + q$

$y = (x + \frac{1-2p}{2})^2 - (\frac{1-2p}{2})^2 + p^2 - p + q$

$y = (x + \frac{1-2p}{2})^2 - \frac{1 - 4p + 4p^2}{4} + p^2 - p + q$

$y = (x + \frac{1-2p}{2})^2 - \frac{1}{4} + p - p^2 + p^2 - p + q$

$y = (x + \frac{1-2p}{2})^2 + q - \frac{1}{4}$

頂点は $(-\frac{1-2p}{2}, q-\frac{1}{4})$ となります。

この頂点が直線 $y=3x$ 上にあるので、

$q - \frac{1}{4} = 3(-\frac{1-2p}{2})$

$q - \frac{1}{4} = -\frac{3}{2} + 3p$

$q = 3p - \frac{3}{2} + \frac{1}{4}$

$q = 3p - \frac{5}{4}$ ...(2)

(1)と(2)より、

$-p^2 + 5p - 2 = 3p - \frac{5}{4}$

$-p^2 + 2p - 2 + \frac{5}{4} = 0$

$-p^2 + 2p - \frac{3}{4} = 0$

$4p^2 - 8p + 3 = 0$

$(2p-1)(2p-3) = 0$

$p = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

$p = \frac{1}{2}$ のとき、$q = 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{4} = \frac{6}{4} - \frac{5}{4} = \frac{1}{4}$

このとき、$y = x^2 + (1-2\cdot \frac{1}{2})x + (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = x^2 + 0x + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = x^2 + 0x + 0 = x^2$

これは原点を通るので不適。

$p = \frac{3}{2}$ のとき、$q = 3 \cdot \frac{3}{2} - \frac{5}{4} = \frac{18}{4} - \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$

このとき、$y = x^2 + (1-2\cdot \frac{3}{2})x + (\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2} + \frac{13}{4} = x^2 - 2x + \frac{9}{4} - \frac{6}{4} + \frac{13}{4} = x^2 - 2x + \frac{16}{4} = x^2 - 2x + 4$

$y = x^2 - 2x + 4$ は原点を通らない。

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 2x + 4$