与えられた等差数列 $\{a_n\}$ に対して、次の条件を満たす一般項 $a_n$ を求めます。 (1) 第4項が15、第8項が27 (2) 第5項が20、第10項が0

1. 問題の内容

与えられた等差数列 $\{a_n\}$ に対して、次の条件を満たす一般項 $a_n$ を求めます。

(1) 第4項が15、第8項が27

(2) 第5項が20、第10項が0

2. 解き方の手順

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表されます。ここで $a_1$ は初項、$d$ は公差です。

(1) 第4項が15、第8項が27の場合

$a_4 = a_1 + 3d = 15$

$a_8 = a_1 + 7d = 27$

この2つの式から $a_1$ と $d$ を求めます。

$a_8 - a_4 = (a_1 + 7d) - (a_1 + 3d) = 4d = 27 - 15 = 12$

$4d = 12$ より $d = 3$

$a_1 + 3(3) = 15$ より $a_1 = 15 - 9 = 6$

よって $a_n = 6 + (n-1)3 = 6 + 3n - 3 = 3n + 3$

(2) 第5項が20、第10項が0の場合

$a_5 = a_1 + 4d = 20$

$a_{10} = a_1 + 9d = 0$

この2つの式から $a_1$ と $d$ を求めます。

$a_{10} - a_5 = (a_1 + 9d) - (a_1 + 4d) = 5d = 0 - 20 = -20$

$5d = -20$ より $d = -4$

$a_1 + 4(-4) = 20$ より $a_1 = 20 + 16 = 36$

よって $a_n = 36 + (n-1)(-4) = 36 - 4n + 4 = 40 - 4n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n + 3$

(2) $a_n = 40 - 4n$