与えられた行列の逆行列を求める問題です。全部で12個の小問があります。

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を求める問題です。全部で12個の小問があります。

2. 解き方の手順

各小問について、順番に逆行列を求めます。逆行列が存在しない場合は、その理由を述べます。

(1) 零行列O：零行列は正方行列でなければならないが、与えられた情報だけでは行列のサイズが不明であるため、一般に逆行列は存在しません。

(2) 単位行列E：単位行列の逆行列は単位行列自身です。

(3) 正則な行列A, Bに対してAB：逆行列は $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$です。

(4) 正則な行列A, Bに対してA + B：一般に、A+Bの逆行列はAとBの逆行列を用いて簡単に表現できません。与えられた条件だけでは逆行列は求められません。

(5) (1 2)：これは2x1の行列なので正方行列ではないので、逆行列は存在しません。

(6) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$：これは2x3の行列なので正方行列ではないので、逆行列は存在しません。

(7) 行列 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$：この行列の行列式は $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ なので、逆行列が存在します。逆行列は $\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$です。

(8) スカラー2025：これは1x1の行列とみなせます。逆行列は $\frac{1}{2025}$ です。

(9) 行列 $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$：行列式は $3 \cdot 5 - 4 \cdot 1 = 15 - 4 = 11$ です。逆行列は $\frac{1}{11} \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}$ です。

(10) 行列 $\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$：行列式は $4 \cdot 9 - (-6) \cdot (-6) = 36 - 36 = 0$ です。行列式が0なので、逆行列は存在しません。

(11) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$：1行目と3行目が同じなので、行列式は0となり、逆行列は存在しません。

(12) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$：行列式を計算します。$2(4\cdot2-1\cdot2) - (-1)((-3)\cdot2 - 1\cdot(-1)) + 3((-3)\cdot2 - 4\cdot(-1)) = 2(8-2) + (-6+1) + 3(-6+4) = 2(6) -5 + 3(-2) = 12 -5 -6 = 1$ 。よって逆行列が存在する。逆行列は

$\begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 逆行列は存在しない（零行列のサイズが不明）

(2) $E$

(3) $B^{-1}A^{-1}$

(4) 与えられた条件だけでは求められない

(5) 逆行列は存在しない

(6) 逆行列は存在しない

(7) $\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(8) $\frac{1}{2025}$

(9) $\begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}$

(10) 逆行列は存在しない

(11) 逆行列は存在しない

(12) $\begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$