与えられた不等式は、絶対値を含む不等式で、$|x-4| \leq 2x + 1$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式は、絶対値を含む不等式で、$|x-4| \leq 2x + 1$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くために、絶対値の中身の符号で場合分けをします。

場合1: $x - 4 \geq 0$、つまり $x \geq 4$ のとき

$|x-4| = x - 4$ なので、不等式は次のようになります。

$x - 4 \leq 2x + 1$

この不等式を解くと、

$x - 4 - x \leq 2x + 1 - x$

$-4 \leq x + 1$

$-4 - 1 \leq x + 1 - 1$

$-5 \leq x$

したがって、$x \geq 4$ かつ $x \geq -5$ なので、$x \geq 4$ が解になります。

場合2: $x - 4 < 0$、つまり $x < 4$ のとき

$|x-4| = -(x - 4) = -x + 4$ なので、不等式は次のようになります。

$-x + 4 \leq 2x + 1$

この不等式を解くと、

$-x + 4 + x \leq 2x + 1 + x$

$4 \leq 3x + 1$

$4 - 1 \leq 3x + 1 - 1$

$3 \leq 3x$

$1 \leq x$

したがって、$x < 4$ かつ $x \geq 1$ なので、$1 \leq x < 4$ が解になります。

場合1と場合2を合わせると、$x \geq 4$ または $1 \leq x < 4$ なので、$x \geq 1$ が解になります。

3. 最終的な答え

$x \geq 1$