(1) $\sum_{k=1}^{40} k$ (2) $\sum_{l=1}^{14} l^2$ (3) $\sum_{k=3}^{10} k^3$ それぞれの和を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{40} k$

(2) $\sum_{l=1}^{14} l^2$

(3) $\sum_{k=3}^{10} k^3$

それぞれの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を利用します。

$n = 40$ を代入すると、

$\sum_{k=1}^{40} k = \frac{40(40+1)}{2} = \frac{40 \times 41}{2} = 20 \times 41$

(2) 2乗の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を利用します。

$n = 14$ を代入すると、

$\sum_{l=1}^{14} l^2 = \frac{14(14+1)(2 \times 14 + 1)}{6} = \frac{14 \times 15 \times 29}{6} = \frac{14 \times 5 \times 29}{2} = 7 \times 5 \times 29$

(3) 3乗の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2$ を利用します。

$\sum_{k=3}^{10} k^3 = \sum_{k=1}^{10} k^3 - \sum_{k=1}^{2} k^3$

$\sum_{k=1}^{10} k^3 = \left\{ \frac{10(10+1)}{2} \right\}^2 = \left\{ \frac{10 \times 11}{2} \right\}^2 = (5 \times 11)^2 = 55^2$

$\sum_{k=1}^{2} k^3 = 1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$

したがって、

$\sum_{k=3}^{10} k^3 = 55^2 - 9$

3. 最終的な答え

(1) 820

(2) 1015

(3) 2925 - 9 = 3016