数列 $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ の一般項を求め、その総和を計算する問題です。ただし、問題文には「$k^2 \times 1$」のような記載がありますが、これは誤りであると判断し、数列の規則性から総和を求めます。

1. 問題の内容

数列 $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ の一般項を求め、その総和を計算する問題です。ただし、問題文には「$k^2 \times 1$」のような記載がありますが、これは誤りであると判断し、数列の規則性から総和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、この数列の一般項 $a_k$ を求めます。

$k$番目の項は、$a_k = k^2 \cdot (n - k + 1)$ で表されます。

次に、この数列の総和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 (n-k+1)$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (nk^2 - k^3 + k^2)$

$S_n = n \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2$

$S_n = (n+1) \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ を用います。

したがって、

$S_n = (n+1) \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$S_n = \frac{n(n+1)^2}{12} [2(2n+1) - 3n]$

$S_n = \frac{n(n+1)^2}{12} (4n+2 - 3n)$

$S_n = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

数列の総和は、

$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$