多項式 $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $-3x + 1$ となる。このとき、多項式 $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $-3x + 1$ となる。このとき、多項式 $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割り算の基本の関係式を利用します。

割られる数 = 割る数 × 商 + 余り

この問題では、

$x^3 + x^2 - 3x - 1 = B(x-1) + (-3x + 1)$

となります。

この式を変形して $B$ を求めます。

まず、余りを左辺に移項します。

$x^3 + x^2 - 3x - 1 - (-3x + 1) = B(x - 1)$

$x^3 + x^2 - 3x - 1 + 3x - 1 = B(x - 1)$

$x^3 + x^2 - 2 = B(x - 1)$

次に、両辺を $(x - 1)$ で割って $B$ を求めます。

$B = \frac{x^3 + x^2 - 2}{x - 1}$

ここで、多項式の割り算を行います。$x^3 + x^2 - 2$ を $x - 1$ で割ります。

```

x^2 + 2x + 2

x - 1 | x^3 + x^2 + 0x - 2

x^3 - x^2

---------

2x^2 + 0x

2x^2 - 2x

---------

2x - 2

2x - 2

-------

0

```

したがって、$x^3 + x^2 - 2 = (x - 1)(x^2 + 2x + 2)$ となります。

よって、$B = x^2 + 2x + 2$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 2x + 2$