2次不等式 $2x^2 + 5x - 3 < 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $2x^2 + 5x - 3 < 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次式を因数分解します。

$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$

したがって、不等式は

$(2x - 1)(x + 3) < 0$

となります。

次に、$(2x - 1)(x + 3) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2x - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$

$x + 3 = 0$ より $x = -3$

これらの値は、不等式の解の範囲を決定する境界となります。

数直線を使い、3つの区間 $(-\infty, -3)$, $(-3, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \infty)$ で不等号の成立を調べます。

- $x < -3$ のとき: $2x - 1 < 0$ かつ $x + 3 < 0$ なので、$(2x - 1)(x + 3) > 0$ となります。

- $-3 < x < \frac{1}{2}$ のとき: $2x - 1 < 0$ かつ $x + 3 > 0$ なので、$(2x - 1)(x + 3) < 0$ となります。

- $x > \frac{1}{2}$ のとき: $2x - 1 > 0$ かつ $x + 3 > 0$ なので、$(2x - 1)(x + 3) > 0$ となります。

不等式 $(2x - 1)(x + 3) < 0$ を満たすのは、$-3 < x < \frac{1}{2}$ のときです。

3. 最終的な答え

$-3 < x < \frac{1}{2}$