$(3x+y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(3x+y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(3x+y)^6$ の展開式は以下のようになる。

$(3x+y)^6 = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (3x)^{6-k} y^k$

$x^3y^3$ の項を探すには、$6-k=3$ かつ $k=3$ となる $k$ を見つければよい。 この条件を満たすのは $k=3$ である。

したがって、$x^3y^3$ の項は

$\binom{6}{3} (3x)^{6-3} y^3 = \binom{6}{3} (3x)^3 y^3$

$\binom{6}{3}$ を計算する。

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$(3x)^3 = 3^3 x^3 = 27x^3$

したがって、$x^3y^3$ の項は

$20 \times 27x^3 y^3 = 540x^3y^3$

求める係数は540である。

3. 最終的な答え

540