2桁の正の整数があり、5で割ると1余る。十の位と一の位の数を入れ替えると、元の数の3倍より13大きくなる。元の数の十の位の数字と一の位の数字の和を求める。

1. 問題の内容

2桁の正の整数があり、5で割ると1余る。十の位と一の位の数を入れ替えると、元の数の3倍より13大きくなる。元の数の十の位の数字と一の位の数字の和を求める。

2. 解き方の手順

元の数の十の位の数字を $x$ 、一の位の数字を $y$ とすると、元の数は $10x + y$ と表せる。

5で割ると1余るので、 $y$ は1または6。

位を入れ替えた数は $10y + x$ となる。

問題文より、$10y + x = 3(10x + y) + 13$ という関係が成り立つ。

これを整理すると、

$10y + x = 30x + 3y + 13$

$7y - 29x = 13$

$y = 1$ のとき、

$7 - 29x = 13$

$-29x = 6$

これは整数解を持たない。

$y = 6$ のとき、

$7 \times 6 - 29x = 13$

$42 - 29x = 13$

$-29x = -29$

$x = 1$

よって、元の数は $10 \times 1 + 6 = 16$ である。

入れ替えた数は $61$ であり、$3 \times 16 + 13 = 48 + 13 = 61$ となり条件を満たす。

十の位の数字と一の位の数字の和は $x + y = 1 + 6 = 7$ である。

3. 最終的な答え

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