問題は、$(3x + y)^6 [x^3y^3]$ を展開したときの項を求める問題です。特に指示はないため、展開式全体を求めるのではなく、おそらく特定の項の係数を求める問題であると推測します。しかし、具体的な指示がないため、ここでは二項定理を用いて$(3x + y)^6$を展開したときの一般項を求め、それに$[x^3y^3]$をかける形で答えます。

1. 問題の内容

問題は、$(3x + y)^6 [x^3y^3]$ を展開したときの項を求める問題です。特に指示はないため、展開式全体を求めるのではなく、おそらく特定の項の係数を求める問題であると推測します。しかし、具体的な指示がないため、ここでは二項定理を用いて$(3x + y)^6$を展開したときの一般項を求め、それに$[x^3y^3]$をかける形で答えます。

2. 解き方の手順

まず、二項定理を用いて$(3x + y)^6$を展開します。二項定理とは、任意の整数$n$に対して、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

が成り立つというものです。

この式において、$a = 3x$, $b = y$, $n = 6$ とすると、

$(3x + y)^6 = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (3x)^{6-k} y^k$

となります。これを展開した一般項は、

$\binom{6}{k} (3x)^{6-k} y^k = \binom{6}{k} 3^{6-k} x^{6-k} y^k$

となります。

次に、$x^3 y^3$を掛けます。

$\binom{6}{k} 3^{6-k} x^{6-k} y^k \cdot x^3y^3 = \binom{6}{k} 3^{6-k} x^{9-k} y^{k+3}$

となります。

3. 最終的な答え

$(3x + y)^6 [x^3y^3]$の展開式の一般項は、

$\binom{6}{k} 3^{6-k} x^{9-k} y^{k+3}$ (ただし、$k$は0から6までの整数)

となります。

問題文から具体的な指示がないため、これが最終的な答えとします。

もし、$x^m y^n$の係数を求めよ、という問題であれば、$9-k = m$ かつ $k+3 = n$ となる $k$ を求め、その時の $\binom{6}{k} 3^{6-k}$ が係数となります。