問題は、与えられた多項式を別の多項式で割ったときの余りに関する情報から、未知の定数 $a$ および $b$ の値を求めるというものです。 具体的には、3つのケースが与えられています。 (1) $x^3 + 5x^2 + ax + 4$ を $x^2 + 3x - 1$ で割ると、余りが $-2x + b$ である。 (2) $2x^3 + ax - 11$ を $x^2 - 2x - 4$ で割ると、余りが $3x + b$ である。 (3) $x^3 + ax^2 + 2x + b$ を $x^2 + x - 1$ で割ると、余りが $2x - 3$ である。

1. 問題の内容

問題は、与えられた多項式を別の多項式で割ったときの余りに関する情報から、未知の定数 $a$ および $b$ の値を求めるというものです。 具体的には、3つのケースが与えられています。

(1) $x^3 + 5x^2 + ax + 4$ を $x^2 + 3x - 1$ で割ると、余りが $-2x + b$ である。

(2) $2x^3 + ax - 11$ を $x^2 - 2x - 4$ で割ると、余りが $3x + b$ である。

(3) $x^3 + ax^2 + 2x + b$ を $x^2 + x - 1$ で割ると、余りが $2x - 3$ である。

2. 解き方の手順

それぞれのケースについて、実際に多項式の割り算を行うか、もしくは余りの定理を利用して $a$ と $b$ の関係式を導き、連立方程式を解くことで $a$ と $b$ の値を求めます。

(1) $x^3 + 5x^2 + ax + 4$ を $x^2 + 3x - 1$ で割ったときの商を $x + 2$ とすると、

$x^3 + 5x^2 + ax + 4 = (x^2 + 3x - 1)(x+2) - 2x + b$

$x^3 + 5x^2 + ax + 4 = x^3 + 2x^2 + 3x^2 + 6x - x - 2 - 2x + b$

$x^3 + 5x^2 + ax + 4 = x^3 + 5x^2 + 3x - 2 + b$

よって、$ax + 4 = 3x - 2 + b$ となり、$a=3$, $4=-2+b$, よって$b=6$

(2) $2x^3 + ax - 11$ を $x^2 - 2x - 4$ で割ったときの商を $2x+4$ とすると、

$2x^3 + ax - 11 = (x^2 - 2x - 4)(2x+4) + 3x + b$

$2x^3 + ax - 11 = 2x^3 + 4x^2 - 4x^2 - 8x - 8x - 16 + 3x + b$

$2x^3 + ax - 11 = 2x^3 - 13x - 16 + b$

よって、$ax - 11 = -13x - 16 + b$ となり、$a=-13$, $-11=-16+b$, よって$b=5$

(3) $x^3 + ax^2 + 2x + b$ を $x^2 + x - 1$ で割ったときの商を $x+a-1$ とすると、

$x^3 + ax^2 + 2x + b = (x^2 + x - 1)(x+a-1) + 2x - 3$

$x^3 + ax^2 + 2x + b = x^3 + ax^2 - x^2 + x^2 + ax - x - x - a + 1 + 2x - 3$

$x^3 + ax^2 + 2x + b = x^3 + ax^2 + (a - 0)x - a - 2$

よって、$2x + b = (a)x - a - 2$ となり、$a=2$, $b = -a - 2 = -2-2$, よって$b=-4$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = 6$

(2) $a = -13$, $b = 5$

(3) $a = 2$, $b = -4$