複素数の計算問題です。 (1) $i + i^2 + i^3 + i^4$ (2) $(1+i)^3$ (3) $i + \frac{1}{i} + \frac{i}{1+i}$ をそれぞれ計算します。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

(1) $i + i^2 + i^3 + i^4$

(2) $(1+i)^3$

(3) $i + \frac{1}{i} + \frac{i}{1+i}$

をそれぞれ計算します。

2. 解き方の手順

(1)

$i$ の累乗を計算します。

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = i^2 \cdot i = -i$

$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$

したがって、

$i + i^2 + i^3 + i^4 = i + (-1) + (-i) + 1 = i - 1 - i + 1 = 0$

(2)

$(1+i)^3$ を展開します。

$(1+i)^3 = (1+i)(1+i)^2 = (1+i)(1+2i+i^2) = (1+i)(1+2i-1) = (1+i)(2i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$

(3)

$i + \frac{1}{i} + \frac{i}{1+i}$ を計算します。

$\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i$

$\frac{i}{1+i} = \frac{i}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{i-i^2}{1-i^2} = \frac{i - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{i+1}{2} = \frac{1+i}{2}$

したがって、

$i + \frac{1}{i} + \frac{i}{1+i} = i + (-i) + \frac{1+i}{2} = 0 + \frac{1+i}{2} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $-2 + 2i$

(3) $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$