問題 (2): $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y = 1$ のとき、$2x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

問題 (2):

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y = 1$ のとき、$2x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x + y = 1$ より $y = 1 - 2x$ である。$y \geq 0$ であるから、 $1 - 2x \geq 0$ より $x \leq \frac{1}{2}$。 また、$x \geq 0$ であるから、$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$。

$2x^2 + y^2$ に $y = 1 - 2x$ を代入すると、

$2x^2 + (1 - 2x)^2 = 2x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 6x^2 - 4x + 1$

$f(x) = 6x^2 - 4x + 1$ とおく。

$f(x) = 6(x^2 - \frac{2}{3}x) + 1 = 6(x - \frac{1}{3})^2 - 6(\frac{1}{9}) + 1 = 6(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{2}{3} + 1 = 6(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3}$

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

$f(x)$ は $x = \frac{1}{3}$ で最小値 $\frac{1}{3}$ をとる。

$x = 0$ のとき、 $f(0) = 1$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、 $f(\frac{1}{2}) = 6(\frac{1}{4}) - 4(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{3}{2} - 2 + 1 = \frac{1}{2}$

よって、

$f(x)$ は $x = 0$ で最大値 $1$ をとる。

問題 (3):

$x^2 + 2y^2 = 1$ のとき、$x + 4y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

まず、$x^2 + 2y^2 = 1$ より $2y^2 = \frac{1-x^2}{2}$ である。

したがって、 $x + 4y^2 = x + 2(2y^2) = x + 2(1 - x^2) = -2x^2 + x + 2$

$g(x) = -2x^2 + x + 2$ とおく。

$x^2 + 2y^2 = 1$ より、 $x^2 \leq 1$ なので、 $-1 \leq x \leq 1$ である。

$g(x) = -2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 2 = -2(x - \frac{1}{4})^2 + 2(\frac{1}{16}) + 2 = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 2 = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{17}{8}$

$-1 \leq x \leq 1$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

$g(x)$ は $x = \frac{1}{4}$ で最大値 $\frac{17}{8}$ をとる。

$x = -1$ のとき、 $g(-1) = -2(1) - 1 + 2 = -1$

$x = 1$ のとき、 $g(1) = -2(1) + 1 + 2 = 1$

よって、$g(x)$ は $x=-1$で最小値 $-1$ をとる。

3. 最終的な答え

問題 (2):

最大値: $1$

最小値: $\frac{1}{3}$

問題 (3):

最大値: $\frac{17}{8}$

最小値: $-1$