2次方程式 $3x^2 - 5x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ (3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 5x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

この問題の場合、$a = 3$, $b = -5$, $c = 1$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$

$\alpha \beta = \frac{1}{3}$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ の場合：

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{5}{3})^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}$

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{25}{9} - \frac{2}{3}$

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{25}{9} - \frac{6}{9} = \frac{19}{9}$

(2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ の場合：

$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta)$

$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3}$

$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \frac{5}{9}$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の場合：

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta}$

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}$

(1)で$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{19}{9}$、$\alpha \beta = \frac{1}{3}$を求めたので代入する。

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\frac{19}{9}}{\frac{1}{3}}$

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{19}{9} \cdot \frac{3}{1}$

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{19}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{19}{9}$

(2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \frac{5}{9}$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{19}{3}$