(1) 整式$A$を$2x+1$で割ったときの商が$x^2-3x-2$、余りが4であるとき、$A$を求める。 (2) 整式$6x^3+11x^2-2$を$B$で割ったときの商が$2x^2+3x-1$、余りが-1であるとき、$B$を求める。

1. 問題の内容

(1) 整式$A$を$2x+1$で割ったときの商が$x^2-3x-2$、余りが4であるとき、$A$を求める。

(2) 整式$6x^3+11x^2-2$を$B$で割ったときの商が$2x^2+3x-1$、余りが-1であるとき、$B$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 割り算の基本の関係式「割られる数 = 割る数 × 商 + 余り」を利用する。

$A$を求めるので、以下の式を計算する。

$A = (2x+1)(x^2-3x-2) + 4$

$A = 2x(x^2-3x-2) + 1(x^2-3x-2) + 4$

$A = 2x^3 - 6x^2 - 4x + x^2 - 3x - 2 + 4$

$A = 2x^3 - 5x^2 - 7x + 2$

(2) 割り算の基本の関係式「割られる数 = 割る数 × 商 + 余り」を利用する。

割られる数が$6x^3+11x^2-2$、商が$2x^2+3x-1$、余りが$-1$である。

$6x^3+11x^2-2 = B(2x^2+3x-1) - 1$

$B$について解く。

$6x^3+11x^2-2 + 1 = B(2x^2+3x-1)$

$6x^3+11x^2-1 = B(2x^2+3x-1)$

$B = \frac{6x^3+11x^2-1}{2x^2+3x-1}$

ここで、筆算もしくは組立除法で割り算を実行する。

すると、$6x^3+11x^2-1 = (2x^2+3x-1)(3x+1)$となる。

したがって、$B=3x+1$

3. 最終的な答え

(1) $A = 2x^3 - 5x^2 - 7x + 2$

(2) $B = 3x+1$