2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが、2次関数 $y = x^2 - 8x + 9$ のグラフと点 $(1, -5)$ に関して対称であるとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが、2次関数 $y = x^2 - 8x + 9$ のグラフと点 $(1, -5)$ に関して対称であるとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 8x + 9$ を平方完成します。

$y = x^2 - 8x + 9 = (x - 4)^2 - 16 + 9 = (x - 4)^2 - 7$

よって、$y = x^2 - 8x + 9$ の頂点は $(4, -7)$ です。

点 $(1, -5)$ に関して対称なグラフの頂点を $(p, q)$ とすると、$(1, -5)$ は2つの頂点の中点であるため、

$\frac{4 + p}{2} = 1$

$\frac{-7 + q}{2} = -5$

これを解くと、

$4 + p = 2 \implies p = -2$

$-7 + q = -10 \implies q = -3$

よって、$y = ax^2 + bx + c$ のグラフの頂点は $(-2, -3)$ です。

点対称なグラフは、係数が $-1$ 倍されるため、$a = -1$ です。

したがって、$y = -(x + 2)^2 - 3 = -(x^2 + 4x + 4) - 3 = -x^2 - 4x - 7$ となります。

よって、$a = -1$, $b = -4$, $c = -7$ です。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -4$

$c = -7$