与えられた式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。 (1) $(3x+2)^5$ の $x^3$ の係数 (2) $(2x-3y^2)^8$ の $x^4y^8$ の係数 (3) $(a+b+c)^6$ の $ab^2c^3$ の係数

1. 問題の内容

与えられた式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。

(1) $(3x+2)^5$ の $x^3$ の係数

(2) $(2x-3y^2)^8$ の $x^4y^8$ の係数

(3) $(a+b+c)^6$ の $ab^2c^3$ の係数

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いて展開します。一般項は ${}_5 C_k (3x)^k (2)^{5-k}$ です。$x^3$ の項は $k=3$ のときなので、${}_5 C_3 (3x)^3 (2)^{5-3} = {}_5 C_3 (3^3)(2^2)x^3$ となります。係数は ${}_5 C_3 \cdot 3^3 \cdot 2^2 = 10 \cdot 27 \cdot 4 = 1080$ です。

(2) 二項定理を用いて展開します。一般項は ${}_8 C_k (2x)^{8-k} (-3y^2)^k$ です。$x^4y^8$ の項は $8-k=4$ かつ $2k=8$ のときなので、$k=4$ です。このときの項は ${}_8 C_4 (2x)^4 (-3y^2)^4 = {}_8 C_4 (2^4)(-3)^4 x^4 y^8$ となります。係数は ${}_8 C_4 \cdot 2^4 \cdot (-3)^4 = 70 \cdot 16 \cdot 81 = 90720$ です。

(3) 多項定理を用いて展開します。一般項は $\frac{6!}{p!q!r!} a^p b^q c^r$ (ただし $p+q+r=6$)です。$ab^2c^3$ の項は $p=1, q=2, r=3$ のときなので、$\frac{6!}{1!2!3!} a^1 b^2 c^3$ となります。係数は $\frac{6!}{1!2!3!} = \frac{720}{1 \cdot 2 \cdot 6} = \frac{720}{12} = 60$ です。

3. 最終的な答え

(1) 1080

(2) 90720

(3) 60