与えられた等式 $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

等式が恒等式であるためには、両辺の各次数の項の係数が一致する必要があります。

まず、右辺を展開します。

$$a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$$

したがって、与えられた等式は、

$$2x^2 + 1 = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$$

となります。

両辺の係数を比較すると、

$x^2$ の係数：$a = 2$

$x$ の係数：$2a + b = 0$

定数項：$a + b + c = 1$

これらの式から、$a, b, c$ の値を求めます。

$a = 2$ を $2a+b=0$ に代入すると、$2(2) + b = 0$ より、$4 + b = 0$ となり、$b = -4$ です。

$a = 2$ と $b = -4$ を $a+b+c=1$ に代入すると、$2 + (-4) + c = 1$ より、$-2 + c = 1$ となり、$c = 3$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -4$, $c = 3$