与えられた式 $(x+2)^4$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+2)^4$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開する。二項定理は以下の通り。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$

ここで $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数である。

今回の問題では、$a = x$, $b = 2$, $n = 4$ である。したがって、

$(x+2)^4 = \binom{4}{0}x^4 2^0 + \binom{4}{1}x^3 2^1 + \binom{4}{2}x^2 2^2 + \binom{4}{3}x^1 2^3 + \binom{4}{4}x^0 2^4$

それぞれの二項係数を計算する。

$\binom{4}{0} = \frac{4!}{0!4!} = 1$

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 3 \times 2 \times 1} = 4$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 6$

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 1} = 4$

$\binom{4}{4} = \frac{4!}{4!0!} = 1$

したがって、

$(x+2)^4 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot 2 + 6 \cdot x^2 \cdot 4 + 4 \cdot x \cdot 8 + 1 \cdot 1 \cdot 16$

$(x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

3. 最終的な答え

$x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$