3点 A(-1, 6), B(1, a), C(a, 0) が一直線上にあるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

3点 A(-1, 6), B(1, a), C(a, 0) が一直線上にあるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるということは、任意の2点間の傾きが等しいことを意味します。

まず、点Aと点Bを通る直線の傾きを求めます。

$傾き_{AB} = \frac{a - 6}{1 - (-1)} = \frac{a - 6}{2}$

次に、点Bと点Cを通る直線の傾きを求めます。

$傾き_{BC} = \frac{0 - a}{a - 1} = \frac{-a}{a - 1}$

3点A, B, Cが一直線上にあるためには、$傾き_{AB}$ と $傾き_{BC}$ が等しくなければなりません。

したがって、以下の式が成り立ちます。

$\frac{a - 6}{2} = \frac{-a}{a - 1}$

この式を解いて、$a$の値を求めます。

両辺に $2(a - 1)$ を掛けると：

$(a - 6)(a - 1) = -2a$

$a^2 - a - 6a + 6 = -2a$

$a^2 - 7a + 6 = -2a$

$a^2 - 5a + 6 = 0$

この2次方程式を因数分解すると：

$(a - 2)(a - 3) = 0$

したがって、$a = 2$ または $a = 3$

それぞれの $a$ の値について点 A, B, C が一直線上にあるか確認します。

$a=2$ の場合: A(-1, 6), B(1, 2), C(2, 0)

$傾き_{AB} = \frac{2 - 6}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2$

$傾き_{BC} = \frac{0 - 2}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2$

$a=3$ の場合: A(-1, 6), B(1, 3), C(3, 0)

$傾き_{AB} = \frac{3 - 6}{1 - (-1)} = \frac{-3}{2}$

$傾き_{BC} = \frac{0 - 3}{3 - 1} = \frac{-3}{2}$

したがって、どちらの$a$の値でも3点は一直線上にあります。

3. 最終的な答え

a = 2, 3