与えられた式 $(a+2b+c+d)(a+2b-c-d)$ を展開し、 $a^2 + \text{オ}b^2 - c^2 - d^2 + \text{カ}ab - \text{キ}cd$ の形式で表したときの、空欄「オ」「カ」「キ」に入る係数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+2b+c+d)(a+2b-c-d)$ を展開し、 $a^2 + \text{オ}b^2 - c^2 - d^2 + \text{カ}ab - \text{キ}cd$ の形式で表したときの、空欄「オ」「カ」「キ」に入る係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下のように変形します。

$(a+2b+c+d)(a+2b-c-d) = (a+2b+(c+d))(a+2b-(c+d))$

ここで、$A = a+2b$ 、$B = c+d$ とおくと、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

となります。したがって、

$(a+2b+(c+d))(a+2b-(c+d)) = (a+2b)^2 - (c+d)^2$

$(a+2b)^2$ を展開すると、

$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$

$(c+d)^2$ を展開すると、

$(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$

したがって、

$(a+2b)^2 - (c+d)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 - (c^2 + 2cd + d^2) = a^2 + 4b^2 - c^2 - d^2 + 4ab - 2cd$

問題文にある形式と比較すると、

$a^2 + \text{オ}b^2 - c^2 - d^2 + \text{カ}ab - \text{キ}cd = a^2 + 4b^2 - c^2 - d^2 + 4ab - 2cd$

となるので、

* オ = 4

* カ = 4

* キ = 2

3. 最終的な答え

オ = 4

カ = 4

キ = 2