$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、 $y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x+y$, $xy$ (2) $x^2 + y^2$ (3) $x^4y^2 + x^2y^4$ (4) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、 $y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x+y$, $xy$

(2) $x^2 + y^2$

(3) $x^4y^2 + x^2y^4$

(4) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ と $xy$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} + \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2 + (\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(2+2\sqrt{2}+1)+(2-2\sqrt{2}+1)}{2-1} = \frac{6}{1} = 6$

$xy = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = 1$

(2) $x^2+y^2$ を計算します。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 6^2 - 2(1) = 36 - 2 = 34$

(3) $x^4y^2 + x^2y^4$ を計算します。

$x^4y^2 + x^2y^4 = x^2y^2(x^2+y^2) = (xy)^2(x^2+y^2) = (1)^2(34) = 34$

(4) $x^3+y^3$ を計算します。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2-3xy) = 6(6^2 - 3(1)) = 6(36-3) = 6(33) = 198$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 6$, $xy = 1$

(2) $x^2 + y^2 = 34$

(3) $x^4y^2 + x^2y^4 = 34$

(4) $x^3 + y^3 = 198$