実数全体を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | 7 \le x \le 13\}$, $B = \{x | 6 \le x \le a\}$, $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ が与えられている。 $\bar{A} \supset B$ かつ $A \cap C \neq \emptyset$ となるような自然数 $a$ の個数を求める。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | 7 \le x \le 13\}$, $B = \{x | 6 \le x \le a\}$, $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ が与えられている。

$\bar{A} \supset B$ かつ $A \cap C \neq \emptyset$ となるような自然数 $a$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、条件 $\bar{A} \supset B$ から、$B \subset \bar{A}$ を導く。$A = \{x | 7 \le x \le 13\}$ なので、$\bar{A} = \{x | x < 7\} \cup \{x | x > 13\}$ となる。

$B \subset \bar{A}$ より、$B = \{x | 6 \le x \le a\}$ が $\bar{A}$ に含まれる必要がある。

これは、$a < 7$ または $a > 13$ を意味する。

$B \subset \bar{A}$を満たすには、集合$B$の全ての要素が$\bar{A}$に含まれる必要があるので、$a$の値によって場合分けする。

* $a < 7$のとき、$B = \{x | 6 \le x \le a\}$ は $\bar{A} = \{x | x < 7\} \cup \{x | x > 13\}$ に含まれる。

* $a > 13$のとき、$B = \{x | 6 \le x \le a\}$ は $\bar{A} = \{x | x < 7\} \cup \{x | x > 13\}$ に含まれない。なぜなら、$7 \le x \le 13$となる$x$が$B$に含まれてしまうからである。

したがって、$a<7$である必要がある。

次に、$A \cap C \neq \emptyset$ という条件を考える。$A = \{x | 7 \le x \le 13\}$, $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ である。

$A \cap C \neq \emptyset$ は、$A$ と $C$ の共通部分が存在することを意味する。つまり、$7 \le x \le 13$ かつ $\frac{a}{2} \le x \le 17$ を満たす $x$ が存在する必要がある。

これは、$\frac{a}{2} \le 13$ かつ $7 \le 17$（これは常に成り立つ） を満たす必要がある。

$\frac{a}{2} \le 13$ より、$a \le 26$ である。

以上の議論から、$a < 7$ かつ $a \le 26$ という条件が得られる。

したがって、$a < 7$ であり、$a$ は自然数なので、$a = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ となる。

ここで、$a<7$の場合、$B \subset \bar{A}$が成り立っていた。また、$a \le 26$の条件から、$A \cap C \neq \emptyset$が成り立つ。

よって、$a$ は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれかである。

$\frac{a}{2} \le 13$となる条件について考えれば十分。

結論として、$a$ は自然数であり、$a < 7$ かつ $a \le 26$ を満たす必要があるため、$a$ の取りうる値は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の6個である。

$A \cap C \neq \emptyset$の条件を、$a < 7$の場合について詳しく見ていく。

$a < 7$のとき、$a/2 < 7/2 = 3.5$である。$C = \{x | a/2 \le x \le 17\}$であり、$A = \{x | 7 \le x \le 13\}$であるから、$A \cap C = \{x | 7 \le x \le 13\}$となるためには、$a/2 \le 7$である必要がある。よって、$a \le 14$となる。

$a < 7$と$a \le 14$を満たす自然数は、$a = 1, 2, 3, 4, 5, 6$である。

$a > 13$のとき、$a \le 26$であれば、$A \cap C \neq \emptyset$は満たされる。$\bar{A} \supset B$を満たすためには、$B$が$\bar{A}$に含まれなければならない。

$a > 13$の場合、$A \cap B = \{x | 7 \le x \le 13\}$となるため、$B$は$\bar{A}$に含まれない。

$\bar{A} \supset B$かつ$A \cap C \neq \emptyset$となるのは、$a=1, 2, 3, 4, 5, 6$のときのみである。

3. 最終的な答え

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