2つの不等式 $|x-7| < 2$ …① $|x-3| < k$ …② について、以下の2つの問いに答えます。ただし、$k$は正の定数とします。 (1) ①と②をともに満たす実数$x$が存在するような$k$の値の範囲を求めよ。 (2) ①の解が②の解に含まれるような$k$の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2つの不等式

$|x-7| < 2$ …①

$|x-3| < k$ …②

について、以下の2つの問いに答えます。ただし、$k$は正の定数とします。

(1) ①と②をともに満たす実数$x$が存在するような$k$の値の範囲を求めよ。

(2) ①の解が②の解に含まれるような$k$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式①を解きます。

$|x-7| < 2$

$-2 < x-7 < 2$

$5 < x < 9$

次に、不等式②を解きます。

$|x-3| < k$

$-k < x-3 < k$

$3-k < x < 3+k$

①と②をともに満たす実数$x$が存在するためには、

$3-k < 9$ かつ $5 < 3+k$

つまり、

$3-9 < k$ かつ $5-3 < k$

$-6 < k$ かつ $2 < k$

$k > 2$ である必要があります。また、 $k>0$ である必要があるので、$k>2$が条件となります。

(2)

①の解が②の解に含まれるためには、

$3-k \le 5$ かつ $9 \le 3+k$

$3-k \le 5$ より $3-5 \le k$ なので、$k \ge -2$

$9 \le 3+k$ より $9-3 \le k$ なので、$k \ge 6$

$k$ は正の定数なので、$k \ge 6$となります。

3. 最終的な答え

(1) $k > 2$

(2) $k \ge 6$