与えられた式 $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を以下のようにペアに分けます。

$[(a+b)+c][(a+b)-c][(a-b)+c][(a-b)-c]$

次に、和と差の積の公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ を利用して、それぞれのペアを計算します。

$(a+b+c)(a+b-c) = (a+b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

$(a-b+c)(a-b-c) = (a-b)^2 - c^2 = a^2 - 2ab + b^2 - c^2$

これらの結果を掛け合わせます。

$(a^2 + 2ab + b^2 - c^2)(a^2 - 2ab + b^2 - c^2) = [(a^2 + b^2 - c^2) + 2ab][(a^2 + b^2 - c^2) - 2ab]$

ここで再び、和と差の積の公式を利用します。

$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 + b^2 - c^2)(a^2 + b^2 - c^2) - 4a^2b^2$

展開して整理します。

$(a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2) - 4a^2b^2 = a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 + 2a^2b^2 - 4a^2b^2 = a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 + 2b^2c^2-4a^2b^2 = a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2$

$a^4 + b^4 + c^4 - 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$

これは、$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2 = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$と同値です。

また、$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)=((a+b)^2 - c^2)((a-b)^2 - c^2)=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$となります。

$(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 4a^2b^2 - 4b^2c^2 - 4c^2a^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - 4a^2b^2-4b^2c^2-4a^2c^2=a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2$

3. 最終的な答え

$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2$

または

$(a^2+b^2-c^2)^2 - 4a^2b^2$