与えられた式 $x^4 + 4$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + 4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この問題は、Sophie Germainの恒等式を利用して因数分解します。

$x^4 + 4$ を次のように変形します。

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$

ここで、$x^4 + 4x^2 + 4$ は $(x^2 + 2)^2$ と書き換えられます。

したがって、

$x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2$

これは $A^2 - B^2$ の形であるため、差の二乗の公式 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を適用できます。

ここで、$A = x^2 + 2$ で、$B = 2x$ です。

したがって、

$x^4 + 4 = (x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 - 2x)$

これを整理すると、

$x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$