与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $9x^4 + 5x^2 + 1$ (2) $4x^4 - 16x^2 + 9$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $9x^4 + 5x^2 + 1$

(2) $4x^4 - 16x^2 + 9$

2. 解き方の手順

(1) $9x^4 + 5x^2 + 1$ の因数分解

この式を $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$ の形に近づけて、平方の差を作ることを考えます。

$9x^4 + 6x^2 + 1 = (3x^2 + 1)^2$ であることを利用します。

元の式は $9x^4 + 5x^2 + 1 = 9x^4 + 6x^2 + 1 - x^2 = (3x^2 + 1)^2 - x^2$ と変形できます。

これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形になっているので、因数分解できます。

$(3x^2 + 1)^2 - x^2 = (3x^2 + 1 + x)(3x^2 + 1 - x) = (3x^2 + x + 1)(3x^2 - x + 1)$

(2) $4x^4 - 16x^2 + 9$ の因数分解

この式も同様に、$A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$ の形に近づけて、平方の差を作ることを考えます。

$4x^4 - 12x^2 + 9 = (2x^2 - 3)^2$ であることを利用します。

元の式は $4x^4 - 16x^2 + 9 = 4x^4 - 12x^2 + 9 - 4x^2 = (2x^2 - 3)^2 - (2x)^2$ と変形できます。

これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形になっているので、因数分解できます。

$(2x^2 - 3)^2 - (2x)^2 = (2x^2 - 3 + 2x)(2x^2 - 3 - 2x) = (2x^2 + 2x - 3)(2x^2 - 2x - 3)$

3. 最終的な答え

(1) $(3x^2 + x + 1)(3x^2 - x + 1)$

(2) $(2x^2 + 2x - 3)(2x^2 - 2x - 3)$