$(3x - \frac{y}{3})^7$ の展開式における $x^4 y^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x - \frac{y}{3})^7$ の展開式における $x^4 y^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式の一般項を求めます。

二項定理より、$(a+b)^n$ の展開における一般項は ${}_n C_r a^{n-r} b^r$ で表されます。

今回の問題では、 $a = 3x$, $b = -\frac{y}{3}$, $n = 7$ です。

したがって、展開式の一般項は

${}_7 C_r (3x)^{7-r} (-\frac{y}{3})^r$

となります。

$x^4 y^3$ の係数を求めるので、$7-r=4$ かつ $r=3$ となる $r$ の値を求めます。これは $r=3$ で条件を満たします。

したがって、$r=3$ のときの項を計算します。

${}_7 C_3 (3x)^4 (-\frac{y}{3})^3 = \frac{7!}{3!4!} (3^4 x^4) (-\frac{y^3}{3^3})$

$= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} (81 x^4) (-\frac{1}{27} y^3)$

$= 35 \cdot 81 \cdot (-\frac{1}{27}) x^4 y^3$

$= 35 \cdot (-3) x^4 y^3$

$= -105 x^4 y^3$

3. 最終的な答え

$x^4 y^3$ の係数は $-105$ です。