集合 $Z_7 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ が与えられています。整数 $n$ を自然数 $m$ で割った余りを $[n]_m$ で表すものとします。$a = \frac{7^{55}-3}{5}$ が整数であることは既知とします。以下の問いに答えます。 (1) 写像 $f: Z_7 \rightarrow Z_7$ を $f(n) = [5n]_7$ により定めます。$f$ が全単射であることを確認し、逆写像 $f^{-1}$ に対して、$f^{-1}(4)$ を求めます。 (2) $f([a]_7)$ を求めます。 (3) 整数 $a$ を 7 で割った余りを求めます。

1. 問題の内容

集合 $Z_7 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ が与えられています。整数 $n$ を自然数 $m$ で割った余りを $[n]_m$ で表すものとします。$a = \frac{7^{55}-3}{5}$ が整数であることは既知とします。以下の問いに答えます。

(1) 写像 $f: Z_7 \rightarrow Z_7$ を $f(n) = [5n]_7$ により定めます。$f$ が全単射であることを確認し、逆写像 $f^{-1}$ に対して、$f^{-1}(4)$ を求めます。

(2) $f([a]_7)$ を求めます。

(3) 整数 $a$ を 7 で割った余りを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f$ が全単射であることを確認します。そのためには、$f(n)$ が $n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対して異なる値を取ることを確認すれば良いです。

$f(0) = [5 \cdot 0]_7 = 0$

$f(1) = [5 \cdot 1]_7 = 5$

$f(2) = [5 \cdot 2]_7 = [10]_7 = 3$

$f(3) = [5 \cdot 3]_7 = [15]_7 = 1$

$f(4) = [5 \cdot 4]_7 = [20]_7 = 6$

$f(5) = [5 \cdot 5]_7 = [25]_7 = 4$

$f(6) = [5 \cdot 6]_7 = [30]_7 = 2$

$f(n)$ は全て異なる値を取るので、$f$ は全単射です。

次に、$f^{-1}(4)$ を求めます。$f(5) = 4$ であるので、$f^{-1}(4) = 5$ です。

(2) $f([a]_7)$ を求めます。まず、$a = \frac{7^{55} - 3}{5}$ を 7 で割った余りを求めます。

$7^{55} \equiv 0 \pmod{7}$ なので、$7^{55} - 3 \equiv -3 \equiv 4 \pmod{7}$ となります。

$a = \frac{7^{55} - 3}{5}$ より、$5a = 7^{55} - 3$ です。

$5a \equiv 4 \pmod{7}$ となります。

$5^{-1} \pmod{7}$ を求めます。$5 \cdot 3 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$ なので、$5^{-1} \equiv 3 \pmod{7}$ です。

$a \equiv 3 \cdot 4 \equiv 12 \equiv 5 \pmod{7}$ となります。

したがって、$[a]_7 = 5$ です。

よって、$f([a]_7) = f(5) = [5 \cdot 5]_7 = [25]_7 = 4$ となります。

(3) 整数 $a$ を 7 で割った余りを求めます。

(2)で計算した通り、$a \equiv 5 \pmod{7}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $f$ は全単射であり、$f^{-1}(4) = 5$

(2) $f([a]_7) = 4$

(3) $a$ を 7 で割った余りは 5