次の3つの式の二重根号を外す問題です。 (1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ (2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ (3) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

1. 問題の内容

次の3つの式の二重根号を外す問題です。

(1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$

(2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$

(3) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外すには、$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}=\sqrt{x}\pm\sqrt{y}$ の形に変形します。ここで、$x+y=a$ かつ $xy=b$ となる $x$ と $y$ を見つけます。

(1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ について

$x+y=8$ かつ $xy=7$ となる $x$ と $y$ を探します。$x=7$、$y=1$ が条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{8+2\sqrt{7}}=\sqrt{7}+\sqrt{1}=\sqrt{7}+1$

(2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ について

まず、$6\sqrt{2}$ を $2\sqrt{ }$ の形に変形します。$6\sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2\sqrt{18}$ となります。

したがって、$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{11-2\sqrt{18}}$ となります。

次に、$x+y=11$ かつ $xy=18$ となる $x$ と $y$ を探します。$x=9$、$y=2$ が条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{11-2\sqrt{18}}=\sqrt{9}-\sqrt{2}=3-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ について

まず、根号の中の根号の前の係数を2にするために、式全体を $\sqrt{\frac{2}{2}}$ 倍します。

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$

次に、$x+y=8$ かつ $xy=15$ となる $x$ と $y$ を探します。$x=5$、$y=3$ が条件を満たします。

したがって、

$\frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{7}+1$

(2) $3-\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$