与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を展開し、因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を展開し、因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$a(b-c)^2 = a(b^2 - 2bc + c^2) = ab^2 - 2abc + ac^2$

$b(c-a)^2 = b(c^2 - 2ac + a^2) = bc^2 - 2abc + ba^2$

$c(a-b)^2 = c(a^2 - 2ab + b^2) = ca^2 - 2abc + cb^2$

したがって、

$a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc = ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 + ca^2 - 2abc + cb^2 + 8abc$

整理すると、

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b - 6abc + 8abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

この式を因数分解します。

この式は対称式なので、$a$, $b$, $c$ のうちどの文字で整理しても同じ結果が得られます。$a$について整理すると、

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$(b+c)$ でくくり出すと、

$(b+c)(a^2 + a(b+c) + bc) = (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

さらに、$a^2 + ab + ac + bc$ を因数分解すると、

$(b+c)[a(a+b) + c(a+b)] = (b+c)(a+b)(a+c)$

したがって、

$a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$