与えられた4つの等式が成り立つかどうかを判断し、成り立たない場合は正しい等式に修正します。

1. 問題の内容

与えられた4つの等式が成り立つかどうかを判断し、成り立たない場合は正しい等式に修正します。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{-5} \sqrt{-2} = \sqrt{10}$

$\sqrt{-5} = \sqrt{5}i$、$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$

$\sqrt{-5} \sqrt{-2} = (\sqrt{5}i)(\sqrt{2}i) = \sqrt{10}i^2 = -\sqrt{10}$

したがって、$\sqrt{-5} \sqrt{-2} = -\sqrt{10}$ となるべきです。

(2) $\sqrt{-5}\sqrt{2} = \sqrt{-10}$

$\sqrt{-5}\sqrt{2} = i\sqrt{5}\sqrt{2} = i\sqrt{10} = \sqrt{-10}$

したがって、等式は成り立ちます。

(3) $\frac{\sqrt{-5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{-5}{2}}$

$\frac{\sqrt{-5}}{\sqrt{2}} = \frac{i\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = i\sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{-5}{2}}$

したがって、等式は成り立ちます。

(4) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-2}} = \sqrt{\frac{5}{-2}}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-2}} = \frac{\sqrt{5}}{i\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{i\sqrt{2}} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i\sqrt{5}}{i^2\sqrt{2}} = \frac{i\sqrt{5}}{-\sqrt{2}} = -i\sqrt{\frac{5}{2}} = -\sqrt{\frac{-5}{2}}$

したがって、$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-2}} = -\sqrt{\frac{-5}{2}}$ となるべきです。

3. 最終的な答え

成り立たない等式は(1)と(4)です。

(1)の正しい等式は $\sqrt{-5} \sqrt{-2} = -\sqrt{10}$

(4)の正しい等式は $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-2}} = -\sqrt{\frac{-5}{2}}$