与えられた複数の線形方程式を解き、解を「(定ベクトル) + (何本かのベクトルの, 係数が任意な線形和)」の形式で表現する。

1. 問題の内容

与えられた複数の線形方程式を解き、解を「(定ベクトル) + (何本かのベクトルの, 係数が任意な線形和)」の形式で表現する。

2. 解き方の手順

(1) 問題文に方程式が書かれていません。解なし。

(2) $0 = 0$ は常に成立するので、$x, y$ は任意の値を取ることができる。

解は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ （c, dは任意）

(3) $0 = 1$ は成立しないので解なし。

(4) $x = 1$ より、$y$ は任意の値を取ることができる。

解は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ （cは任意）

(5) $x = x$ は常に成立するので、$x, y$ は任意の値を取ることができる。

解は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ （c, dは任意）

(6) $x = 2x$ より、$x = 0$ 。$y$ は任意の値を取ることができる。

解は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ （cは任意）

(7)

$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ -3x - 6y = -3 \end{cases}$

2番目の式は1番目の式を-3倍したものなので、同じ式を表している。したがって、$x = 1 - 2y$ 。

解は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ （cは任意）

(8)

$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ -3x - 6y = -2 \end{cases}$

2番目の式は1番目の式を-3倍すると $-3x - 6y = -3$ となるが、実際には $-3x - 6y = -2$ なので、この連立方程式は解なし。

(9)

$\begin{cases} x + 2y + 3z = -1 \\ 2x + 2z = 2 \\ -x + y = -2 \end{cases}$

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & -4 & -4 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、

$\begin{cases} x + z = 1 \\ y + z = -1 \end{cases}$

したがって、

$\begin{cases} x = 1 - z \\ y = -1 - z \end{cases}$

解は $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ （cは任意）

(10)

$\begin{cases} 4x - 8y + z + 5w = -2 \\ x - 2y + 2z + 3w = 3 \\ -3x + 6y + z - 2w = 5 \end{cases}$

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 4 & -8 & 1 & 5 & -2 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & 3 \\ -3 & 6 & 1 & -2 & 5 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & 3 & 3 \\ 4 & -8 & 1 & 5 & -2 \\ -3 & 6 & 1 & -2 & 5 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -7 & -7 & -14 \\ 0 & 0 & 7 & 7 & 14 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{cases} x - 2y + w = -1 \\ z + w = 2 \end{cases}$

したがって

$\begin{cases} x = 2y - w - 1 \\ z = -w + 2 \end{cases}$

解は $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ (c, dは任意)

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ （c, dは任意）

(3) 解なし

(4) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ （cは任意）

(5) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ （c, dは任意）

(6) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ （cは任意）

(7) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ （cは任意）

(8) 解なし

(9) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ （cは任意）

(10) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ (c, dは任意)