$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+3y \leq 3n$ を満たす格子点の個数を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。格子点とは、$x$座標と$y$座標がともに整数である点のことを指します。

1. 問題の内容

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+3y \leq 3n$ を満たす格子点の個数を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。格子点とは、$x$座標と$y$座標がともに整数である点のことを指します。

2. 解き方の手順

まず、$y$の値を固定して、$x$の取りうる値を考えます。

$y=k$ ($k$は整数)とおくと、$x \geq 0$ かつ $x+3k \leq 3n$ より、$0 \leq x \leq 3n-3k$ となります。

したがって、$x$の取りうる整数の個数は、$3n-3k+1$個となります。

$y$は、$y \geq 0$ かつ $x+3y \leq 3n$ より、$0 \leq 3y \leq 3n$、つまり、$0 \leq y \leq n$ を満たす整数なので、$y$は$0$から$n$までの整数値を取ります。

求める格子点の総数は、$k=0$から$n$まで、$x$の取りうる整数の個数を足し合わせたものです。

したがって、求める個数は

$$\sum_{k=0}^{n} (3n-3k+1) = \sum_{k=0}^{n} (3n+1) - 3 \sum_{k=0}^{n} k$$

$$= (3n+1)(n+1) - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = (3n+1)(n+1) - \frac{3}{2} n(n+1)$$

$$= (n+1) \left( 3n+1 - \frac{3}{2} n \right) = (n+1) \left( \frac{6n+2-3n}{2} \right) = (n+1) \left( \frac{3n+2}{2} \right)$$

$$= \frac{(n+1)(3n+2)}{2} = \frac{3n^2+5n+2}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3n^2+5n+2}{2}$