$m$ を実数とする。二次方程式 $x^2 + 2(2m-1)x + 4m^2 - 9 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす $m$ の値の範囲をそれぞれ求める。 (1) 2つの解がともに負 (重解を含む) (2) 1つの解は正、他の解は負 (3) 異なる2つの解がともに1以上

1. 問題の内容

$m$ を実数とする。二次方程式 $x^2 + 2(2m-1)x + 4m^2 - 9 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす $m$ の値の範囲をそれぞれ求める。

(1) 2つの解がともに負 (重解を含む)

(2) 1つの解は正、他の解は負

(3) 異なる2つの解がともに1以上

2. 解き方の手順

まず、二次方程式の解の公式を思い出す。二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

である。判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号によって、解の種類が決定される。

$D > 0$ ならば異なる2つの実数解を持つ。

$D = 0$ ならば重解を持つ。

$D < 0$ ならば実数解を持たない。

二次方程式 $x^2 + 2(2m-1)x + 4m^2 - 9 = 0$ について、$a=1$, $b=2(2m-1)$, $c=4m^2-9$ である。

判別式 $D$ は、

$D = [2(2m-1)]^2 - 4(1)(4m^2-9) = 4(4m^2 - 4m + 1) - 16m^2 + 36 = 16m^2 - 16m + 4 - 16m^2 + 36 = -16m + 40$

解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -2(2m-1) = -4m + 2$

$\alpha \beta = 4m^2 - 9$

(1) 2つの解がともに負のとき

$D \geq 0$, $\alpha + \beta < 0$, $\alpha \beta > 0$ が必要である。

$D = -16m + 40 \geq 0$ より、 $16m \leq 40$ なので $m \leq \frac{40}{16} = \frac{5}{2}$

$\alpha + \beta = -4m + 2 < 0$ より、 $4m > 2$ なので $m > \frac{1}{2}$

$\alpha \beta = 4m^2 - 9 > 0$ より、 $(2m-3)(2m+3) > 0$ なので $m < -\frac{3}{2}$ または $m > \frac{3}{2}$

これらを全て満たす範囲は $\frac{3}{2} < m \leq \frac{5}{2}$

(2) 1つの解は正、他の解は負のとき

$\alpha \beta < 0$ が必要である。

$\alpha \beta = 4m^2 - 9 < 0$ より、 $(2m-3)(2m+3) < 0$ なので $-\frac{3}{2} < m < \frac{3}{2}$

(3) 異なる2つの解がともに1以上のとき

$D > 0$, $(\alpha - 1) + (\beta - 1) > 0$, $(\alpha - 1)(\beta - 1) > 0$ が必要である。

$D = -16m + 40 > 0$ より、 $16m < 40$ なので $m < \frac{5}{2}$

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) = \alpha + \beta - 2 = -4m + 2 - 2 = -4m > 0$ より、 $m < 0$

$(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = 4m^2 - 9 - (-4m + 2) + 1 = 4m^2 + 4m - 10 > 0$

$2m^2 + 2m - 5 > 0$ を解くと、 $m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 40}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{2}$

したがって、 $m < \frac{-1-\sqrt{11}}{2}$ または $m > \frac{-1+\sqrt{11}}{2}$

これらを全て満たす範囲は $m < \frac{-1-\sqrt{11}}{2}$ または $\frac{-1+\sqrt{11}}{2} < m < 0$

これは $\frac{-1 + \sqrt{11}}{2} \approx \frac{-1 + 3.3}{2} \approx 1.15$ なので、範囲は $m < \frac{-1 - \sqrt{11}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2} < m \leq \frac{5}{2}$

(2) $-\frac{3}{2} < m < \frac{3}{2}$

(3) $m < \frac{-1 - \sqrt{11}}{2}$