$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求める問題です。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^6 + \frac{1}{x^6}$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求める問題です。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^6 + \frac{1}{x^6}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

まず、$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ より、

$x^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$

次に、$\frac{1}{x}$ を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

よって、

$\frac{1}{x^2} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$

したがって、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$

(2) $x^6 + \frac{1}{x^6}$ を求める。

$x^6 + \frac{1}{x^6} = (x^2)^3 + (\frac{1}{x^2})^3$

ここで、$a = x^2$, $b = \frac{1}{x^2}$ とおくと、

$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 10$ であり、$x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 1$ であるから、

$x^6 + \frac{1}{x^6} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^3 - 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} \cdot (x^2 + \frac{1}{x^2}) = 10^3 - 3 \cdot 1 \cdot 10 = 1000 - 30 = 970$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) 970