与えられた3次式 $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ を因数分解します。

はい、承知いたしました。問題の式を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まずは、与えられた式を $f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ とおきます。

整数の範囲で因数分解できるかどうかを調べるために、$f(x) = 0$ となるような $x$ の値を探索します。

定数項である $-8$ の約数 $(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8)$ を $x$ に代入して $f(x)$ が0になるものを探します。

$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 6(1) - 8 = 1 - 3 + 6 - 8 = -4 \neq 0$

$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 6(2) - 8 = 8 - 12 + 12 - 8 = 0$

$x=2$ のとき $f(2) = 0$ となるため、 $f(x)$ は $(x-2)$ を因数に持つことがわかります。

したがって、$x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ を $(x-2)$ で割ります。

筆算または組み立て除法を用いて、$x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ を $(x-2)$ で割ると、

$x^2 - x + 4$ が商となり、余りは0となります。

したがって、

$x^3 - 3x^2 + 6x - 8 = (x-2)(x^2 - x + 4)$

$x^2 - x + 4$ は判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15 < 0$ であるため、実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

3. 最終的な答え

$x^3 - 3x^2 + 6x - 8 = (x-2)(x^2 - x + 4)$